Question

Este URGENT !!!!!
Determinati numerele naturale x care verifica egalitatile:

a) 5^{x}= \sqrt{1+4+4*5+4* 5^{2}+...+4* 5^{2011} }

b) 3x= \sqrt{ 3^{2012}-2* 3^{2011}-2* 3^{2010}-...-2*3-2 } [/tex]

Answer 1

exista o formula pt astfel de sume, iar in cazul in care nu o stii, e usor de dedus.Presupunem ca ai o suma :
S   =1+x+x^2+...+x^n  (x reprezinta baza, iar n -cea mai mare putere)  )
/se inmulteste cu x (atat in stanga cat si in dreapta)
si avem :
x*S=    x+x^2+...+x^n+x^(n+1)
daca faci diferenta (din x*S-S) se obtine:
x*S-S =[ x+x^2+...+x^n+x^(n+1)] - [1+x+x^2+...+x^n ] =>
=> S*(x-1)=x^(n+1) -1 => S =[x^(n+1)-1]/(x-1)
si ca o 'traducere' formula suna asa:

daca ai o suma de nr. ce au aceeasi baza si puterile sunt nr consecutive, suma este (baza^(puterea cea mai mare +1) - (primul numar) )/(baza -1)
in cazul tau ai :
1+4+4*5+4* 5^{2}+...+4* 5^{2011} =
=1+4*(1+5+5^2+...+5^2011)  
/ baza =5, puterea cea mai mare este 2011,primul numar este 1
=1+4* (5^2012-1)/(5-1)=
=1+4*(5^2012-1)/4 =
=1+5^2012-1=
=5^2012
cum ai 5^x = radical (5^2012) => 5^x =5^(2012:2)<=>
<=>5^x=5^1006 <=>x=1006

la b) se aplica acelasi rationament, trebuie sa calculezi:
2+2*3+2*3^2 +...+2*3^2011
apoi din 3^2012 scazi suma aflata...have fun