Question

Este urgent!!!!Va rog daca se poate cu desen .Multumesc!!!! Dau coroana!!!!!!!
Fie triunghiul isoscel ABC, m(∡A)=120°. Fie M mijlocul laturii [AB]. Perpendiculara din M pe BC intersecteaza drepata AC in D, iar bisectoarea ∡-lui CDM taie latura [BC] in E. Aratati ca:
a). CD = 3AD;
b). BD ⊥ DC;
c). [EB] ≡ [EC];
d). EM ║ AC.

Answer 1

Notezi jumatatea lui AB cu M, duci inaltimea pe latura BC si o notezi cu P, apoi prelungesti inaltimea in sus, prelungesti si latura AC pana cand inaltimea si latura se unesc in punctul D.
a) daca $\angle{BAC}=120>90$ inseamna ca nici un alt unghi nu mai poate fi egal cu acesta, deci celelalte doua unghiuri sunt egale intre ele(triunghiul fiind isoscel) atunci
$\angle{ABC}=\angle{ACB}$ si de asemenea AB=AC(isos) Si le putem calcula si marimea din suma unghiurilor din triunghi
$\angle{ABC}+\angle{ACB}+\angle{BAC}=180\Rightarrow 2\angle{ABC}=180-\angle{BAC}=\frac{180-120}{2}=\frac{60}{2}=30$
Deci: $\angle{ABC}=\angle{ACB}=30$
MP este perpendiculara pe latura BC, atunci triunghiul MPB este dreptunghic cu $\angle{MPB}=90$ Inseamna ca suma celorlate 2 unghiuri ramase este de 90 grade
$\angle{ABC}+\angle{BMP}=90\Rightarrow \angle{BMP}=90-\angle{ABC}=90-30=60$
Mai vedem ca dreptele DP si AB se intersecteaza in punctul M, si atunci din unghiuri incrucisate, ne dam seama ca:
$\angle{BMP}=\angle{AMD}=60$(1)
Observam ca AC este prelungit pentru a se intersecta cu inaltimea din M in punctul D. Asta inseamna ca unghiurile BAC si MAD sunt suplementare(adunate fac 180 grade) din moment ce punctele C,A,D sunt coliniare
$\angle{BAC)+\angle{MAD}=180\Rightarrow \angle{MAD}=180-\angle{BAC}=180-120=60$(2)
Din 1 si 2 rezulta ca triunghiul MAD are doua unghiuri egale intre ele (MAD si AMD) ambele de 60 grade, deci este un triunghi isoscel. Mai mult, unghiurile fiind de 60 grade, inseamna ca triunghiul este echilateral.
Daca este echilateral, atunci AM=AD=DM si ultimul unghi este tot de 60
$\angle{MDA}=60$(4)
M este la mijlocul lui AB, atunci
$AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{AC}{2}$
Din cele doua relatii precedente, rezulta ca
$AD=AM=\frac{AC}{2}\Rightarrow AC=2AD$
Acum putem demonstra relatia
$CD=AC+AD=2AD+AD=3AD$
b) Punctele A,M,B sunt coliniare, ci segmentul MD care le desparte, atunci unghiurile de-o parte si de alta a lui M sunt suplementare(suma face 180 de grade)
$\angle{AMD}+\angle{BMD}=180\Rightarrow \angle{BMD}=180-\angle{AMD}=180-60-120$
Apoi stim deja din relatiile precedente ca MD=AM, dar M fiind mijlocul lui AB, atunci AM=MB, deci MD=MB. Atunci, triunghiul MBD este isoscel, cu unghiurile egale MDB si MBD. Atunci putem calcula aceste unghiuri
$\angle{MDB}+\angle{MBD}+\angle{BMD<span>}=180\Rightarrow 2\angle{MDB}=180-\angle{BMD}\Rightarrow \angle{MDB}=\frac{180-120}{2}=30=\angle{MBD}</span>$
Acum sa ne uitam la unghiul format de BD si DC, adica BDC
$\angle{BDC}=\angle{BDM}+\angle{MDA}=60+30=90$
Atunci BD este perpendicular pe DC
c) Daca DE este bisectoarea unghiului CDM atunci
$\angle{MDE}=\angle{EDC}=\frac{\ang;e{MDC}}{2}=\frac{\angleMDA}{2}=\frac{60}{2}=30$ 
Triunghiul DEC are atunci doua unghiuri egale:
$\angle{EDC}=\angle{DCE}=\angle{ACB}=30$
Atunci triunghiul DEC este isoscel cu laturile DE=EC(6)
Calculam acum unghiurile DBE si BDE
$\angle{BDE}=\angle{BDM}+\angle{MDE}=30+30=60$
$<span>\angle{DBE}=\angle{MBD}+\angle{MBE}=30+\angle{ABC}=30+30=60</span>$
atunci cele doua unghiuri sunt egale, BDE este isoscel, dar are si unghi de 60 grade, atunci este echilateral cu BD=DE=BE(7)
din 6 si 7 rezulta ca DE=EC adica E este mijlocul lui BC
d) E mijlocul lui BC, M este mijlocul lui AB, atunci EM este linie mijlocie in triunghiul ABC si este paralela cu ultima latura: EM||AC