Question

ex 1 Determinați valorile întregi ale lui x astfel încât 2x+5 supra x+2 sa fie număr întreg
ex 2 Suma a doua numere raționale a și b este 156.Aflati numerele știind ca raportul dintre a+24 și b-32 are valoarea 1.
va rogggg

Answer 1

$\displaystyle\\1)\\\\\frac{2x+5}{x+2}= \frac{2x+4+1}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}+\frac{1}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}+\frac{1}{x+2}=2+\frac{1}{x+2}\\\\2\in Z\\\\\frac{1}{x+2} \in Z \text{ daca } (x+2) \in D_2\\\\D_2=\{-1;~1\}\\\\x+2=-1~\Longrightarrow~\boxed{x_1= -3}\\\\x+2=1~\Longrightarrow~\boxed{x_2= -1}\\\\x \in \{-3;~-1\}$

$\displaystyle\\2)\\\\\begin{cases}a+b=156\\a+24=b-32\end{cases}\\\\\begin{cases}a+b=156\\a-b=-32-24\end{cases}\\\\\begin{cases}a+b=156\\a-b=-56\end{cases}\\\\\text{Adunam ecuatiile:}\\\\2a~~~~/~=100\\\\a=\frac{100}{2} = \boxed{\bf 50}\\\\b = 156 - a = 156 - 50 = \boxed{\bf 106}$

Answer 2

1)

$\it \dfrac{2x+5}{x+2} \in\mathbb{Z} \Rightarrow x+2|2x+5 \ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ Dar,\ x+2|x+2 \Rightarrow x+2|(x+2)\cdot2 \Rightarrow x+2|2x+4 \ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1), (2) \Rightarrow x+2|2x+5-2x-4 \Rightarrow x+2|1 \Rightarrow x+2\in\{-1,\ 1\}|_{-2} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow x\in\{-3, \ -1\}$

2)

$\it a+b = 156\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ \dfrac{a+24}{b-32}=1 \Rightarrow a+24=b-32 \Rightarrowa-b = -32-24 \Rightarrow a-b=-56 \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1), (2) \Rightarrow \begin{cases} \it a+b=156\\ \\\it a-b=-56\end{cases}\\ ------------\\.\ \ \ \ \qquad \qquad 2a \ \ \ = \ 100 \Rightarrow a = 50 \ \ \ \ \ (3)$

$\it (1), (3) \Rightarrow 50+b = 156 \Rightarrow b=156-50 \Rightarrow b = 106$

Numerele cerute sunt: a= 50, b=106.