Question

Ex 11 varog dau coroana!!!!

Answer 1

a) A=3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011}31+32+33+...+32011 are 2011 termeni impari.
Stim:
par+par=impar+impar=par
par+impar=impar

Observam ca daca grupam 2 cate 2 termenii din A, obtinem 1005 perechi de numere impare (care perechi insumate dau un numar par) si inca un termen impar, adica A=par+impar=impar.

b) A+1=1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011}1+31+32+33+...+32011 

Stim formula generala:

x^{n} -1=(x-1)(1+x+ x^{2} + x^{3} +...+ x^{n-1} )xn−1=(x−1)(1+x+x2+x3+...+xn−1)

Inlocuind x=3 si n=2012 obtinem:

3^{2012} -1=(3-1)(1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011} )32012−1=(3−1)(1+31+32+33+...+32011)=2(A+1)
Deci:
U(A+1)=U((3^{2012} -1):2(32012−1):2 )

Ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
U( 3^{1} )=3U(31)=3 
U( 3^{2} )=9U(32)=9 
U( 3^{3} )=7U(33)=7 
U( 3^{4} )=1U(34)=1 

U( 3^{5} )=3U(35)=3 
U( 3^{6} )=9U(36)=9 
U( 3^{7} )=7U(37)=7 
..............etc.
Cum 2012=4*503, deci este multiplu de 4, inseamna ca: 
U( 3^{2012} )=1U(32012)=1 , deci

U(A+1)=U((1 -1):2(1−1):2 )=0

c) Cum numerele care au ultima cifra 0 sunt divizibile cu 5 si pentru ca am aratat la b) ca U(A+1)=0, rezulta ca restul impartirii lui A+1 la 5 este 0, deoarece A+1 este divizibil cu 5.