Question

Ex 16 geometrie cine poate

Answer 1

Răspuns:

a)  ∡(A'B, AC) = 60°

b)  ∡D'OD ≈ 55°

c)  ∡(D'O, BC') = 30°

d)  ∡(BC', AD) = 45°

Explicație pas cu pas:

În acest caz, pentru a determina unghiul format de două drepte necoplanare, trebuie să identificăm dreapta coplanară și concurentă cu una din ele și paralelă cu cealaltă.

a)

A'B║D'C   ⇒  ∡(A'B, AC) ≡ ∡(D'C, AC) ≡ ∡D'CA

avem D'C ≡ AC ≡ D'A = diagonala unei fețe a cubului

⇒ ΔD'CA echilateral

⇒ ∡D'CA = 60°  ⇒  ∡(A'B, AC) = 60°

b)

A'C'║AC   ⇒  ∡(D'O, A'C') ≡ ∡(D'O, AC) ≡ ∡D'OD

Notăm cu α latura cubului. Aplicăm Pitagora în Δ ADB:

DO² = (DB / 2)² = DB² / 4 = (α² + α²) / 4 = α² / 2

DO = α√2 / 2

DD' ⊥ DO  si  DO ⊥ AC  ⇒  (t. 3⊥) D'O ⊥ AC

⇒  Δ D'DO dreptunghic

tg ∡D'OD = D'D / DO

tg ∡D'OD = α / (α√2 / 2) = 2α / α√2 = √2

tg ∡D'OD  ≈ 1,4142

căutăm valoarea în tabele

⇒ ∡D'OD ≈ 55°

⇒ ∡(D'O, A'C') ≈ 55°

c)

AD'║BC'   ⇒  ∡(D'O, BC') ≡ ∡(D'O, AD') ≡ ∡AD'O

ΔD'CA echilateral și DO înălțime  ⇒  DO bisectoare

⇒ ∡AD'O = 60° : 2 = 30°

⇒  ∡(D'O, BC') = 30°

d)

AD║BC   ⇒  ∡(BC', AD) ≡ ∡(BC', BC) ≡ ∡C'BC

BC' diagonala feței cubului ⇒ ∡C'BC = 45°

⇒ ∡(BC', AD) = 45°