Question

EX 17 te rog sa îl faci dacă îl vezi​

Answer 1

Salut,

Observăm numitoarele, ele sunt de forma 1·2, 2·3, 3·4 și așa mai departe, ultimul termen este 9·10.

Asta înseamnă că termenul general al sumei este de forma:

$\dfrac{1}{k\cdot (k+1)},\ unde\ k\ ia\ valori\ de\ la\ 1\ la\ 9.$

Termenul general se poate scrie așa, ca diferență de 2 fracții:

$\dfrac{1}{k\cdot (k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.$

Dacă aduci la numitor membrul drept, obții exact membrul stâng. Sau, la numărătorul fracției din membrul stâng aduni și scazi k și obții exact diferența din membrul drept.

Dacă dăm valori lui k de la 1 la 9, avem că:

$S_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\ldots+\dfrac{1}{90}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\dfrac{1}{9\cdot 10}=\\\\=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{10-1}{10}=\dfrac{9}{10}.$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.