Question

Ex 18 va rog.......................

Answer 1

Atunci cand adunam matricele, putem aduna separat elementele care se afla pe aceeasi pozitie in matrice, adica putem distribui suma la fiecare element din matrice. Astfel, vom avea de calculat urmatoarele sume:
[tex]S_1=\sum_1^{2013}\omega^k\\\\ S_2=\sum_1^{2013}\omega^{2k}\\\\ S_3=\sum_1^{2013}\omega^{3k}\\\\[/tex]
Daca omega este radacina acelei ecuatii, atunci il putem inlocui in ecuatie:$\omega^2+\omega+1=0$
Asta se mai poate scrie asa:$\omega^2+\omega^1+\omega^0=0$
Acum, vom observa ce se intampla cand inmultim de mai multe ori cu ω in ambii membri:[tex]\omega^2+\omega^1+\omega^0=0\\ \omega\cdot(\omega^2+\omega^1+\omega^0)=\omega\cdot0\rightarrow \omega^3+\omega^2+\omega^1=0\\\\\omega^4+\omega^3+\omega^2=0\\ \omega^5+\omega^4+\omega^3=0\\ \omega^6+\omega^5+\omega^4=0\\ ...[/tex]
Se observa ca putem inmulti cu ω la nesfarsit, iar in toate cazurile avem trei puteri consecutive ale lui ω. Prin inductie putem trage concluzia ca suma oricaror 3 puteri consecutive ale radacinii ω este 0:$\boxed{\omega^{k+2}+\omega^{k+1}+\omega^{k}=0}\ \ , \forall\ k\geq0$
Calculam prima suma:$S_1=\omega^1+\omega^2+\omega^3+\omega^4+...+\omega^{2013}$
Putem grupa termenii cate trei, astfel incat suma fiecare grupe va fi 0(ceea ce am aflat mai intainte). Vom incepe gruparea de la ultimul termen la primul. Prima grupa de trei a fi (ω^2011 + ω^2012 + ω^2013) iar ultima grupa de trei va fi (ω^2 + ω^3 + ω^4) iar ω^1 va ramane pe dinafara.
[tex]S_1=\omega^1+(\omega^2+\omega^3+\omega^4)+(\omega^5+\omega^6+\omega^7)+...+\\+ (\omega^{2011}+\omega^{2012}+\omega^{2013})\\\\ S_1=\omega+0+0+...+0=\omega[/tex]
Pentru a calcula a doua suma ne intoarcem la relatia demonstrata:$\omega^{k+2}+\omega^{k+1}+\omega^{k}=0\rightarrow \boxed{\omega^{k+2}=-\omega^{k+1}-\omega^{k}}$
$S_2=\omega^2+\omega^4+\omega^6+...+\omega^{4026}$
Vom rescrie termenii sumei cu ajutorul formulei de mai sus:$S_2=(-\omega^1-\omega^0)+(-\omega^3-\omega^2)+(-\omega^5-\omega^4)+...+(-\omega^{4025}-\omega^{4024})$
Rearanjam termenii si aplicam metoda folosita pentru S1:[tex]S_2=-(\omega^0+\omega^1+\omega^2+...+\omega^{4025})\\\\ S_2=-((\omega^0+\omega^1+\omega^2)+(\omega^3+\omega^4+\omega^5)+(\omega^6+\omega^7+\omega^8)+...+\\+(\omega^{4023}+\omega^{4024}+\omega^{4025}))=-(0+0+0+...+0)=0[/tex]
Calculam a treia suma:

[tex]\omega^2+\omega+1=0\rightarrow \omega^3+\omega^2+\omega=0\\\\ \omega^2+\omega+1=\omega^3+\omega^2+\omega\rightarrow \boxed{\omega^3=1}[/tex]
[tex]\omega^3=1\\ \omega^6=(\omega^3)^2=1^2=1\\ \omega^9=(\omega^3)^3=1^3=1\\ ...\\ \omega^{3k}=(\omega^3)^k=1^k=1[/tex]
Asadar, ω la orice putere naturala divizibila cu 3 este egal 1.$S_3=\sum_1^{2013}\omega^{3k}=\sum_1^{2013}1=\underbrace{1+1+...+1}_{\text{2013 termeni}}=1\cdot2013=2013$
[tex]S_1=\omega\\ S_2=0\\ S_3=2013[/tex]
Matricea finala va fi:$\left(\begin{array}{ccc}S_1&S_2&S_3\\S_3&S_2&S_1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\omega&0&2013\\2013&0&\omega\end{array}\right)$