Question

ex 27 b.............​

Answer 1

Răspuns:

a) Fie $f(x)=e^x-x-1, \ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$f'(x)=e^x-1$

$f'(x)=0\Rightarrow x=0$

f este descrescătoare pe $(-\infty,0)$ și crescătoare pe $(0,\infty)$, deci $x=0$ este punct de minim. Rezultă

$f(x)\ge f(0)\Rightarrow e^x\ge x+1, \ \forall x\in\mathbb{R}$

b) Avem

$0\le x\le 1\Rightarrow 0\le x^2\le 1\Rightarrow -x^2\ge -1\Rightarrow e^{-x^2}\ge e^{-1}\Rightarrow\\\Rightarrow\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\ge\int_0^1e^{-1}dx=\dfrac{1}{e}$

Din a) rezultă $e^{x^2}\ge x^2+1\Rightarrow\dfrac{1}{e^{x^2}}\le\dfrac{1}{x^2+1}\Rightarrow e^{-x^2}\le \dfrac{1}{x^2+1}$

Aplicând integrala de la 0 la 1 rezultă

$\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}dx\le\left. \arctan x\right|_0^1=\dfrac{\pi}{4}$

Explicație pas cu pas: