Question

ex 8. Integrala din limita. Poate comuta integrala cu limita? Sau trebuie rezolvata intai limita?

Answer 1

Răspuns:

Mai întâi trebuie explicitată funcția.

Dacă $x < 0\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{nx}=0\Rightarrow f(x)=x^2$

Dacă $x > 0\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to\infty}{e^{nx}}=\infty$ și avem cazul $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$. Se dă $e^{nx}$ factor forțat și după simplificare și trecere la limită rezultă $f(x)=\displaystyle\frac{|4-x^2|}{x^2+1}$.

Dacă $x=0\Rightarrow f(0)=2$. Atunci

$f(x)=\displaystyle\begin{cases}x^2, & x < 0\\2, & x=0\\\displaystyle\frac{4-x^2}{x^2+1}, & x\in(0,2)\\ \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2+1}, & x\in[2,\infty)\end{cases}$

Atunci

$I=\displaystyle\int_{-1}^1f(x)dx=\int_{-1}^0f(x)dx+\int_0^1f(x)dx=\\=\int_{-1}^0x^2dx+\int_0^1\displaystyle\frac{4-x^2}{x^2+1}dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-1}^0-\int_0^1\frac{x^2+1-5}{x^2+1}dx=\\=\frac{1}{3}-\left. x\right|_0^1+5arctg x\left.\right|_0^1=\frac{1}{3}-1+\frac{5\pi}{4}=\frac{15\pi-8}{12}$

Explicație pas cu pas: