Question

ex. 8 punctul a,b, si c, va rog frumos sami explicati si sami aratati rezolvarea, ca nu inteleg​

Answer 1

Răspuns:

a)

afirmatie: n³+5n - divizibil cu 6, n∈N*

verificam ca afirmatia este adevarata pentru n=1

1+5×1 = 6 - este divizibil cu 6

presupunem ca afirmatia este adevarata pentru n=k si demonstram ca este adevarata pentru n=k+1

n=k: k³+5k - divizibil cu 6 ⇒ exista m∈N* astfel incat k³+5k = 6×m,

n= k+1 ⇒ n³+5n = (k+1)³+5(k+1) = k³+1+3k²+3k+5k+5 = (k³+5k)+3k²+3k+6 = 6m+3k(k+1)+6= 6(m+18n+1)+3k(k+1)

k(k+1) - divizibil 2 (produsul a doua numere consecutive)

⇒ 3k(k+1) - divizibil cu 3×2=6

6(m+1) - divizibil cu 6

⇒ 6(m+1)+3k(k+1) - divizibil cu 6 ⇒ afirmatia "n³+5n - divizibil cu 6" este adevarata pentru n=k+1

⇒ afirmatia "n³+5n - divizibil cu 6" este adevarata pentru (∀) n∈N*

b)

presupunem 10ⁿ+18n-28 = 27×m (divizibil cu 27)

demonstram ca 10ⁿ⁺¹+18(n+1)-28 este divizibil cu 27

10ⁿ⁺¹+18(n+1)-28 = 10×10ⁿ+18n+18-28 = (10ⁿ+18n-28)+9×10ⁿ+18=27×m+9(10ⁿ+2)

10ⁿ+2 = 100..002 - are suma cifrelor egala cu 3 ⇒ 10ⁿ+2 - este divizibil cu 3

⇒ 9(10ⁿ+2) - divizibil cu 9×3=27

⇒ 27×m+9(10ⁿ+2) - divizibil cu 27

⇒ 10ⁿ⁺¹+18(n+1)-28 - divizibil cu 27

c)

presupunem ca 6²ⁿ-1 = 35×m

demonstram ca 6²⁽ⁿ⁺¹⁾-1 - divizibil cu 35

6²⁽ⁿ⁺¹⁾-1 = 6²ⁿ×6²-1 = 36×6²ⁿ-1 = 35×6²ⁿ+6²ⁿ-1 =35×6²ⁿ+35×m = 35×(6²ⁿ+m) - divizibil cu 35. q.e.d.