Question

Ex ăsta,vă rog … am nevoie de rezolvare completă

Answer 1

O functie este injectiva daca si numai daca este strict crescatoare, sau strict descrescatoare pe tot domeniul de definitie.
(Daca ar fi crescatoare pe o portiune si descrescatoare pe alta portiune (sau invers), atunci ar exista doua valori diferite $x_1\neq x_2$ pentru care $f(x_1)=f(x_2)$ adica functia nu ar fi injectiva.)

Pentru a fi strict crescatoare sau strict descrescatoare pe tot domeniul, inseamna ca derivata sa nu trebuie sa-si schimbe semnul.

Calculam derivata
$f'(x)=3x^2+a$

Se observa ca derivata este pozitiva pentru orice $a\ge0$.
Inseamna ca functia $f$ este strict crescatoare.
Deci pentru $a\ge0$ functia este injectiva.

Ramane sa verificam ce se intampla daca $a < 0$.
In acest caz, derivata va fi 0 atunci cand $x=\pm\sqrt\frac{-a}{3}$.
Stim ca functia de gradul doi are semn schimbat intre radacini, ceea ce inseamna ca derivata isi schimba semnul, deci functia $f$ va trece de la crescatoare la descrescatoare, adica nu este injectiva.

Inseamna ca raspunsul corect este B.