Question

EX DE BAC! Aflați m aparține R știind ca parabola asociata funcției f:R->R, f(x) = x^2 +x+m^2 intersectează axa Ox în 2 puncte distincte. Mulțumesc anticipat!

Answer 1

Salut,

Funcției din enunț îi este asociată de fapt o familie de parabole, din cauza acelui parametru m care ia o infinitate de valori, deci avem o infinitate (o familie) de parabole.

Intersecția în două puncte distincte a unei parabole cu axa orizontală OX se face numai dacă discriminantul Δ al ecuației f(x) = 0 este strict pozitiv.

Sau, știm de la algebra din clasa a IX-a, că o funcție de gradul al II-ea are două soluții distincte dacă discriminantul Δ al ecuației f(x) = 0 este strict pozitiv.

Soluțiile unei ecuații sunt de fapt acele valori ale lui x, pentru care funcția f(x) ia valoarea 0, adică exact punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa orizontală OX.

f(x) = 0 ⇔ x² + x + m² = 0.

În acest caz, avem că:

a = 1, b = 1 și c = m²

Δ = b² -- 4·a·c = 1² -- 4·1·m² = 1 -- 4m².

Condiția este deci:

Δ > 0 (mai mare strict decât 0, adică fără egal).

1 -- 4m² > 0 | · (--1) ⇔ 4m² -- 1 < 0.

Ecuația 4m² -- 1 = 0 are două soluții, adică:

4m² = 1, sau m² = 1/4, deci m₁ = --1/2 și m₂ = +1/2.

Funcția f(m) = 4m² -- 1 îl are pe a = 4 > 0, deci semnul negativ (semnul contrar lui a care are semn pozitiv) are loc între rădăcinile --1/2 și 1/2, adică:

$m\in\left(-\dfrac{1}2,\ +\dfrac{1}2\right).$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.