Question

ex6/126:Daca ∆ABC~∆MNP ,iar AB=8 cm,BC=10 cm și NP=5 cm,aflați MN.
ex 7:Considerăm paralelogramul ABCD si punctul M,M€ (BC).Fie AM ∩CD={N} si DM ∩ AB={P} .Demonstranți că AB^2=BP•CN.

Answer 1

Daca cele 2 triunghiuri sunt asemenea, inseamna ca laturile lor sunt proportionale
$\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}\Rightarrow MB=\frac{AB*NP}{BC}=\frac{8*10}{5}=16cm$
7) Ne uitam la triunghiurle AMB si CMN. AN este o secanta intre dreptele paralele AB si DN atunci unghiurile alterne interne sunt congruente
$\angle{MAB}=\angle{CNM}$
BC este o secanta intre dreptele paralele AP si DN, atunci unghiurile alterne interne sunt congruente
$\angle{ABM}=\angle{MCN}$
Inseamna ca si celelalte 2 unghiuri ramase din cele 2 triunghiuri sunt congruente. Atunci toate unghiurile sunt congruente, si inseamna ca au laturile opuse proportionale, adica
$\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{CN}$

Ne uitam la triunghiurle DMC si BMP. DP este o secanta intre dreptele paralele AB si DN atunci unghiurile alterne interne sunt congruente
$\angle{MDC}=\angle{BPM}$
BC este o secanta intre dreptele paralele AP si DN, atunci unghiurile alterne interne sunt congruente
$\angle{DCM}=\angle{MBP}$
Inseamna ca si celelalte 2 unghiuri ramase din cele 2 triunghiuri sunt congruente. Atunci toate unghiurile sunt congruente, si inseamna ca au laturile opuse proportionale, adica
$\frac{MB}{MC}=\frac{BP}{CD}$
Dar am vazut din relatia de mai sus ca MB/MC mai este egal cu un raport
$\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{CN}=\frac{BP}{CD}\Rightarrow AB*CD=CN*BP$
AB si CD sunt laturi opuse ale paralelogramului, deci sunt si congruente
CD=AB
Atunci
$AB^{2}=CN*BP$