Question

exercițiile 2 și 3 vă rog

Answer 1

4.  x²+y² >=2xy <=> x² -2xy +y² >=0 <=> (x-y)² >=0 ceea ce este adevarat pentru orice x,y∈R cu egalitate daca si numai daca x=y ;

x²+y²+z² >=xy+yz+zx <=> 2x²+2y²+2z² >=2xy+2yz+2zx <=> x² -2xy +y² +y² -2yz +z² +z² -2zx +x²=0 <=> (x-y)²+(y-z)²+(z-x)² >=0 ceea ce este adevat pentru orice x,y,z∈R cu egalitate daca si numai daca x=y .

5.  Aplicam inegalitatea mediilor (ma <=mp) si obtinem

a+b /2 <=√a²+b² /2 <=> (a+b)² /4 <=a²+b² /2 <=> (a+b)² /2 <=a²+b² <=> (a+b) /√2 <=√a²+b² <=> (a+b) <=√2(a²+b²) care este adevarat deoarece aplicand C-B-S avem (1·a+1·b)² <=(1²+1²)(a²+b²) <=> (a+b) <=√2(a²+b²) iar prin analogie reiese ca (c+d) <=√2(c²+d²) => (a+b)(c+d) <=√4(a²+b²)(c²+d²) =2√(a²+b²)(c²+d²) <=2 · (a²+b²+c²+d² /2)=a²+b²+c²+d² ceea ce trebuia demonstrat cu egalitate daca si numai daca a=b=c=d .