Question

Exercitiile 28 si 29...
Mulțumesc!

Answer 1

13^n+7^n-2= par deoarece 13^n  =impar si 7^n= impar
regula= suma adoua nr împare este=nr par
daca scadem din el un nr par = un nr par 
acum demonstram ca 13^n+7^n-2 este divizibil cu 3 fiind echivalent cu 13^n+7^n+1= divizibil cu 3 pentru ca s-a adaugat 3 ,divizibil cu 3
verificare pentru n=0
1+1+1=3 (divizibil cu 3)
verificare pentru n=1
13+7+1=21 (divizibil cu 3)
considerand adevarat pt n=n
13^n+7^n+1 (divizibil cu 3)
verificare pt n→n+1

13^(n+1)+7^(n+1)+1=
13*13n+7*7^n+1=7*(13^n+7^n+1)+6*13^n-6=7*(13^n+7^n+1)+3*2*(13^n-1)
deci cei doi termeni ai sumei sunt divizibili cu 3 deci expresia este divizibilew cu 3
deci am demonstrat ca este adevarat ca oricare ar fi numarul natural n apartine numerelor naturale (Pn→Pn+1 ) prin inductie

Answer 2

28.vad ca e de liceu,deci o rezolv prin metoda inductiei matematice:
p(n):13^n+7^n-2
I:verificare:n=1
13+7-2=18   6|18-adevarat
II:Demonstrare:Presupunem ca  p(n+1)-adevarata,pt p(n)-adevarata
p(n) : 6
=> 13^n+7^n-2=6x
=> 13^n=6x+2-7^n

p(n+1)=(6x+2-7^n)*13+7^n*7-2  
p(n+1)=78x+26-7^n*13+7^n*7-2
p(n+1)=78+24-7^n(13-7)
p(n+1)=78+24-7^n*6
p(n+1)=6(13+4-7^n) se divide cu 6
=> III:presupunerea a fost adevarat...etc...

29.
I:inlocuiesti n=1 si p(n)-adevarata
II:demonstrare:
presupunem  p(n+1)-adevarata,pt p(n)-adevarata
p(n)=19x
=> 7*25^n+2*6*6^n=19x
=> 7*25^n=19x-12*6^n

p(n+1)=(19x-12*6^n)*25+2*36*6^n
p(n+1)=225x-300*6^n+72*6^n
p(n+1)=225x-6^(300-72)
p(n+1)=225x-228*6^n

p(n+1)=19(25x-12*6^n) se divide cu 19
=> III:presupunerea facuta a fost adevarata....etc..