Exercițiile 8 și 9 vă rog
Răspunsuri la întrebare
8. a. a³+b³=(a+b)(a² -ab +b²) => a³+b³ >=a²b +ab² <=> (a+b)(a² -ab +b²) >=a²b +ab² <=> (a+b)(a² -ab +b²) >=ab(a+b) dar deoarece a,b∈R₊ => a+b≠ 0 => a² -ab +b² >=ab <=> a² -2ab +b² >=0 <=> (a-b)²>=0 care este adevarat pentru orice a,b∈R₊ .
b. Din inegalitatea mediilor avem
a+b /2 >=√ab <=> a+b >=2√ab iar prin analogie obtinem b+c >=2√bc respectiv c+a >=2√ca => (a+b)(b+c)(c+a) >=2·2·2·√a²·b²·c²=8abc care este adevarat pentru orice a,b,c∈R₊ .
c. Folosim inegalitatea C-B-S si obtinem
(√a·√b +√b·√c +√c·√a)² <=(a+b+c)(b+c+a) <=> √a·√b +√b·√c +√c·√a <=a+b+c care este adevarat pentru orice a,b,c∈R₊ .
Egalitatea are loc daca si numai daca a=b sau a=b=c .
9. Folosim de asemenea C-B-S si rezulta
(1·1 +√a·√b)² <=(1+a)(1+b) <=> 1 +√a·√b <=√(1+a)(1+b) care este adevarat pentru orice a,b∈R₊ . Egalitatea are loc daca si numai daca a=b .