exercițiile 9 1O 11 Dau coroana
Răspunsuri la întrebare
EX. 10
a) E(10)= (-1)·1+(-1)²·2 + (-1)³·3 +......+(-1)¹⁰ · 10
E(10)= -1 +2-3+4-5+.....+9+10
E(10)= (-1-3-......-9) + (2+4+ 10)
E(10)= - (1+3+.....9) + 2· (1+2+.... + 5)
1+3+.....9 1+2+.... + 5
2n-1=9 [ n(n+1) ]/2
n=5 (5·6)/2
n·n = 5·5 = 25 30/2
E(10)= - 25 + 2· 30/2 ⇒ E(10)= 5
b) E(2018) = -1+2-3+4-5 +.......+ (-1)²⁰¹⁸ · 2018
E(2018) = -1+2-3+4-5 +....... - 2017 + 2018
E(2018) = - (1+3+5 + .... + 2017) + 2+4+6 + ....+ 2018
E(2018) = - (1+3+5 + .... + 2017) + 2 · ( 1+2+3+...+1009)
2n-1=2017 [ n(n+1) ]/2
n=1009 (1009·1010)/2
n· n = 1009· 1009 1019090 / 2
n· n = 1018081
E(2018) = - 1018081 + 2 · 1019090 / 2
E(2018) = 1009
E (2017) = -1+2-3+4-5 +.......+ (-1)²⁰¹⁷ · 2017
E (2017) = -1+2-3+4-5 +.......+ 2016 - 2017
E (2017) = - ( 1+3+5+.....+ 2017) + 2+4+6+....+ 2016
E (2017) = - ( 1+3+5+.....+ 2017) + 2 · (1+2+3+...+ 1008)
1018081 [ n(n+1) ]/2
(1008 · 1009)/2
1017072 / 2
E (2017) = - 1018081 + 2 · 1017072 / 2
E (2017) = - 1009
E (2018) - E (2017) = 1009 - ( -1009) = 1009+1009
E (2018) - E (2017) = 2018
Exercitiul 11
A
E
B ____________D_______F____ C
Ipoteza (datele problemei)
Δ ABC
AD bisectoare ∡BAC ⇒ ∡BAD ≡ ∡DAE
ED║ AB
EF ║ AD
Concluzie (ce se cere)
a) Δ ADE isoscel
b) EF bisectoare ∡DEC
Demonstratie
a) ED║ AB si AD secanta ⇒ ∡BAD ≡ ∡ ADE
(unghiuri alterne interne)
Dar ∡BAD ≡ ∡DAE ⇒ ∡DAE ≡ ∡ ADE
Atunci Δ ADE este isoscel pentru ca are doua unghiuri congruente si deci va avea si doua laturi congruente AE ≡ ED
b) EF║ AD si ED secanta ⇒ ∡ADE ≡ ∡DEF
(unghiuri alterne interne)
EF║ AD si AC secanta ⇒ ∡DAE ≡ ∡ FEC
(unghiuri corespondente)
∡DAE ≡ ∡ ADE
∡ADE ≡ ∡ DEF din aceste trei congruente rezulta
∡DAE ≡ ∡ FEC ca ∡DEF ≡ ∡FEC
Daca ∡DEF ≡ ∡FEC atunci EF este bisectoarea unghiului ∡DEC