Question

Exercițiile 90 și 91, vă rog!

Answer 1

90.  1/a +1/b =1/c <=> 1/a +1/b -1/c=0 <=> a²+b²+c²=a²+b²+c²+2ab-2bc-2ca=(a+b-c)² => √a²+b²+c²=|a+b-c|∈Q pentru orice a,b,c∈Q|{0} .

91.  1/a +1/b +1/c=0 <=> ab+bc+ca /abc=0 dar deoarece a,b,c∈R\{0} => abc≠0 <=> ab+bc+ca=0 ; In continuare folosim inegalitatea a +1/a >=2 pentru orice a∈R\{0} <=> (a-1)² >=0 care este este adevarat iar prin analogie avem b +1/b >=2 ,respectiv c +1/c >=2 . Prin insumare obtinem a +1/a +b +1/b +c +1/c >=6 <=> a+b+c >=6 => b+c /a +c+a /b +a+b /c=6-a /a +6-b /b +6-c /c =6/a -1 +6/b -1 +6/c -1 =6·(ab+bc+ca) /abc -3 =0-3=-3 ∈Z ,ceea ce trebuia sa demonstram.