Question

Exercitiile sunt atasate

Answer 1

Bănuiesc că sunt de demonstrat. Deocamdată prima. Să văd dacă am timp și de a doua. Se demonstrează prin inducție.
P(n): suma de la k=1 la n din k^3=[n^2(n+1)^2]/4
Prima etapă: etapa de verificare:
P(1): și înlocuiești n cu 1 in P(n) de mai sus și vezi că dă ceva adevărat. (1=1)
Presupunem P(x) Adevărat și demonstrăm că implică P(x+1) Adevărat. Am zis P(x) ca să evit confuzia.
P(x): suma de la k egal cu 1 la n din k la a treia=[x^2(x+1)^2]/4
P(x+1): suma de la k=1 la x+1 din k la a treia=[(x+1)^2(x+2)^2]/4.
Deci trebuie sa demonstrăm că dacă P(k) e adevărat, înseamnă că și P(k+1) e adevărat. Ca să facem asta trebuie să obținem P(k+1) din P(k).
În cazul asta se observă că o putem face prin a aduna (x+1)^3 la fiecare membru al P(k).
Și vom avea: suma de la k=1 la x din k^3 + (x+1)^3=[x^2(x+1)^2]/4+(x+1)^3. Aducem la același numitor în membrru drept. În membrul stâng scriem aceeași chestie sub altă formă:
suma de la k=1 la x+1 din k^3 = [x^2(x+1)^2+4(x+1)^3]/4
Dăm pe (x+1)^2 factor comun și rezultă:
suma de la k=1 la x+1 din k la^3= [(x+1)^2(x^2+4(x+1))]/4=[(x+1)^2(x^2+4x+4))]/4. Se vede că în paranteză e dezvoltarea binomului (x+2)^2
=[(x+1)^2(x+2)^2]/4 Ceea ce e exact P(x+1) Deci am demonstrat. Și cealaltă tot cam așa e dar nu mai am timp.