Question

exercitiile sunt in poze(sunt cu derivare)
f'(x0)=?

Answer 1

a)
Se observa ca functia e definita pe R->R, deci nu avem punct de intrerupere al graficului functiei. Functia e continua.
Verificam derivabilitatea.
Ls=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mici ca 1 din f(x)-f(1)/x-1=limita din 3-2x-(3-2)/x-1=limita din 3-2x-1/x-1=limita -2x+2/x-1=limita din -2(x-1)/(x-1)=(se simplifica fractia cu x-1)=-2
Ld=limita cand x tinde la 1 prin valori mai mari ca 1 din f(x)-f(1)/x-1=limita din 3-2x-(3-2)/x-1=limita din 3-2x-1/x-1=limita -2x+2/x-1=limita din -2(x-1)/(x-1)=(se simplifica fractia cu x-1)=-2
Exista derivata in x0=1 si f'(x0)=-2
b)
Se observa ca functia e definita pe R->R, deci nu avem punct de intrerupere al graficului functiei. Functia e continua.
Verificam derivabilitatea.
Ls=limita cand tinde la 2 prin valori mai mici ca doi din f(x)-f(2)/x-2=limita din (x^2+3x)-(2^2+3*2)/x-2=limita din (x^2+3x-10)/(x-2)= (numaratorul se descompune in (x-2)(x+5))=limita din (x-2)(x+5)/(x-2)=(se simplifica (x-2))=limita din (x+5)=2+5=7
Ld=limita cand tinde la 2 prin valori mai mari ca doi din f(x)-f(2)/x-2=limita din (x^2+3x)-(2^2+3*2)/x-2=limita din (x^2+3x-2)/(x-2)= (numaratorul se descompune in (x-2)(x+5))=limita din (x-2)(x+5)/(x-2)=(se simplifica (x-2))=limita din (x+5)=2+5=
7
Exista derivata in x0=2 si f'(x0)=7
c)
Avem functia f: R\{0}->R, f(x)=1/x. Trebuie sa vedem daca f este continua. Pentru asta trebuie ca limita la stanga de 0 sa fie egala cu cea la dreapta si egala cu f(0).
Ls=limita cand x tinde la 0 prin valoari mai mici decat 0 din f(x)=limita din 1/x=1/0=infinit
Deja nu mai putem vorbi de continuitate si nici de derivabilitate. Functia nu este continua.
d)
Avem functia f:[0;infinit)->R, f(x)=-√x. Verificam continuitatea, adica daca f(0) este egal cu limita cand x tinde la 0 din f(x).
f(0)=-√0=0
limita cand x tinde la 0 din f(x)=limita din -√x=-√0=0
Functia e continua.
Verificam derivabilitatea.
Ls=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din -√x-0/x-0=limita din -√x/x= (Avem cazul 0/0)= limita din -x^1/2/x^1=limita din -x^1/2-1=limita din -x^-1/2=limita din 1/x^1/2=-1/0=-infinit 
Functia nu e derivabila in x0=0
e)
Se observa ca functia e definita pe R->R, deci nu avem punct de intrerupere al graficului functiei. Functia e continua. Verificam derivabilitatea.
Ls=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din ∛x-0/x-0=limita din ∛x/x= (Avem cazul 0/0)= limita din x^1/3/x^1=limita din x^1/3-1=limita din x^-2/3=limita din 1/x^2/3=1/0=infinit 
Functia nu e derivabila in x0=0
f)
Avem functia f:R->R, f(X)=|X|, adica f are doua forme: x daca x≥0 si -x daca x<0 (conform proprietatile modului).
Verificam continuitatea. Trebuie sa obtinem ca limita la stanga de 0 este egal cu limita la dreapta de 0 egal cu f(0).
f(0)=0
Ls(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din (-x)=0
Ld(0)=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mari ca 0 din (x)=0
Deci functia e continua.
Verificam continuitatea.
Ls=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mici ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din -x-0/x-0=limita din -x/x=-1
Ld=limita cand x tinde la 0 prin valori mai mari ca 0 din f(x)-f(0)/x-0=limita din x-0/x-0=limita din x/x=1
Valorile nu sunt egale, deci f nu e derivabila.