Question

exercitiile urmatoare mai putin 1 si 8

Answer 1

Vezi ce e mai clar, poate trimit si A6

Answer 2

9) E(x) = [2x] -[x] -[x+1/2]

a) x∈ [0, 1/2) ⇒ [x] = 0

x∈ [0, 1/2) ⇒2x ∈[0,  1) ⇒ [2x] = 0

x∈ [0, 1/2) ⇒x+1/2 ∈[0,  1) ⇒ [x+1/2] = 0

Deci, pentru oricare x ∈[0, 1/2) ⇒ E(x) = 0 - 0 - 0 = 0

Observație

E(x) = [2x] -[x] -[x+1/2] = E(x) = [2x] -([x] + [x+1/2]).

Aplicăm identitatea lui Hermite și rezultă:

E(x) = [2x] -  [2x] = 0, pentru oricare x ∈ ℝ.


b) E(x+1/2) = [2(x+1/2)] - [x+1/2] - [x+1/2+1/2] = [2x+1] - [x+1/2] - [x+1] =

= 1+[2x] -[x+1/2] -1- [x] = [2x] -[x] -[x+1/2]  = E(x).


7)

S = [√(n²+1)] + [√(n²+2)] + ... + [√(n²+n)]

Avem inegalitățile evidente:

n² < n² + n = n(n+1) < (n+1)² ⇒n² < n² + n  < (n+1)²

Aplicăm radical pe fiecare termen și obținem:

n < √(n²+n) < n+1 ⇒√(n²+n) ∈ (n, n+1)⇒ [√(n²+n)] = n, pentru oricare n∈ℕ.


Deci, fiecare termen al sumei este egal cu n. Rezultă :

S = n + n+ n + ... + n  (cu n termeni) ⇒ S = n·n ⇒ S = n²