Question

Exercițiu de clasa a cincea

Answer 1

Răspuns:

Nu prea mi se pare de clasa a 5-a... Oricum, fiecare numar de forma $3^k$ este impar. par+impar=impar, impar+impar=par, par+par=par.

Numarul A este o suma de 2011 numere impare. Daca le grupam pe primele 2010 cate 2, obtinem o suma de 1005 numere pare, care e un numar par.

Deci A=suma dintre un numar par si unul impar, = impar.

Ca sa calculezi A+1, trebuie sa stii formula:

$1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$

Atunci

$A+1=1+3+3^2+\cdots+3^{2010} = \frac{3^{2011}-1}{2}$

Deci trebuie vazuta care e ultima cifra a numarului $3^{2011}$

Observam ca $3^{2011}=3^2010\cdot 3 = (3^3)^{670}\cdot 3 = 81^{670}\cdot 3$

81 la orice putere are ultima cifra 1, deci $3^{2011}$ are ultima cifra 3. de unde A are ultima cifra (3-1)/2=1.

Daca ultima cifra a lui A este 1, atunci putem scrie A=10B+1, unde B e un numar natural. Rezulta ca A=5(2B)+1, deci restul impartirii lui A la 5 este 1.

Explicație pas cu pas: