Question

Exercitiu I3 ...
Multumesc!

Answer 1

$\it I_3 = \int \dfrac{(x+1)^6+(x-1)^6}{x^2+1}dx$

Numărătorul fracției de sub integrală se poate scrie:

[tex]\it N=(x + 1)^6 + (x - 1)^6 = [(x + 1)^2]^3 + [(x-1)^2]^3 = [/tex]

[tex] = [\it (x+1)^2+(x-1)^2][(x+1)^4-(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4] [/tex]

Expresia din prima paranteză dreaptă se scrie:

$\it (x+1)^2+(x-1)^2 = x^2+2x+1+x^2-2x+1=2(x^2+1) \ \ \ (1)$

Expresia din a doua paranteză dreaptă se scrie:


[tex]\it (x+1)^4-(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4 = \\\;\\ = (x+1)^4-2(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4 + (x+1)^2(x-1)^2 = \\\;\\ = [(x+1)^2 - (x-1)^2]^2 +(x^2-1)^2=[/tex]

[tex]\it = (x^2+2x+1-x^2+2x-1)^2 +x^4-2x^2+1 = \\\;\\ =(4x)^2+x^4-2x^2+1 = 16x^2+x^4-2x^2+1 = x^4+14x^2+1 \ \ (2)[/tex]

$\it (1),\ (2) \Rightarrow N = 2(x^2+1)(x^4+14x^2+1)$

Acum, expresia de sub integrală se poate scrie:



[tex]\it \dfrac{2(x^2+1)(x^4+14x^2+1)}{x^2+1} =2x^4+28x^2+2 \\\;\\ \\\;\\ I_3 = \int(2x^4+28x^2+2)dx = \dfrac{2x^5}{5}+\dfrac{28x^3}{3} +2x + \mathcal{C} [/tex]