Question

Exercitiu logaritmi subiecte bac 2009. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $lg ( x + 9 ) + lg ( 7x + 3 ) = 1 + lg ( x^{2} +9 )$. Rezolvare completa si explicata va rog !

Answer 1

Punem intai conditiile de existenta pt logaritmi (nu e nevoie sa rezolvi acele inecuatii, le verifici la final cu x obtinut):

x+9>0

7x+3>0

x²+9>0

Ne folosim de proprietatile logaritmilor.

lg A + lg B = lg(A*B)

Pe 1 il scriem ca lg10 (stim ca lg este in baza 10).

=>

lg(x+9)+lg(7x+3) = lg10 + lg(x²+9)

lg(x+9)(7x+3) = lg10(x²+9)

Cum avem aceleasi baze si in stanga si in dreapta, egalam argumentele si rezolvam ecuatia.

=>

(x+9)(7x+3) = 10(x²+9)

7x²+3x+63x+27 = 10x²+90

-3x²+66x-63 = 0 | : (-3)

x²-22x+21 = 0

Delta = 400

x1 = (22+20)/2 = 42/2 = 21 verfica conditiile

x2 = (22-20)/2 = 2/2 = 1 verifica conditiile

Solutiile sunt x1 = 21 si x2 = 1