Question

Exercitiul 1.............

Answer 1

Daca cercul este tangent la cele 2 baze, atunci razele care duc exact pe punctele de intersectie cu baza sunt perpendiculare pe acele baze. Daca notam centrul bazinului cu O, avem atunci:
1)OM perpendicular pe AB
2)OP perpendicular pe CD
3) Stim ca AB si CD sunt paralele
din 1,2,3 rezulta ca fie OM este paralel cu OP, fie ca sunt coliniare. Din moment ce OM si OP au un punct comun, O e clar ca sunt coliniare, atunci avem segmentul MP care are la capete doua puncte aflate pe cerc si contin si centrul cercului,rezulta ca MP este diametrul cercului. Notand raza bazinului cu R, rezulta ca: MP=2R
MP este o inaltime care cade pe ambele baze, rezulta ca MP este inaltimea trapezului, care va fi egala si cu o inaltime dusa dinpunctul D: DF sa-i zicem
Ducem si inaltimea din C, o notam CE

Stim ca in cazul trapezului isoscel $BE=AF=\frac{AB-CD}{2}=\frac{8-2}{2}=3$
AFD este dreptunghic in F, catetele sunt AF si FD, ipotenuza este AD. trapezul este isoscel, deci AD=BC=5 deci putem afla cateta FD din teorema lui Pitagora
$AD^{2}=FD^{2}+AF^{2}\Rightarrow FD^{2}=AF^{2}-AF^{2}=25-9=16\Rightarrow FD=4$
dar stim ca MP=FD=CE=4.
Atunci avem MP=2R=4 adica R=2. Stim ca aria unui cerc este
$A_{cerc}=\pi*R^{2}=4\pi$
b) triunghiul AEC este dreptunghic in E cu catetele: CE=4 si
AE=AB-BE=AB-AF=8-3=5
Atunci putem afla ipotenuza AC
$AC^{2}=CE^{2}+AE^{2}=16+25=41\Rightarrow AC=\sqrt{41}$
c) Ariile hasurate reprezinta aria trapezului fara aria cercului
aria trapezului are formula
$A_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}*AF=\frac{8+2}{2}*4=5*4=20$
atunci aria hasurata este
$A_{has}=A_{ABCD}-A_{cerc}=20-4*\pi=4(5-\pi)$
Avem asa
$\pi=3.14 \Rightarrow A_{has}=4(5-3.14)=7.44$
$\pi=3.15 \Rightarrow A_{has}=4(5-3.15)=7.4$