Question

Exercițiul 1 de la testul 3, va rog

Answer 1

un (G,·) este grup abelian daca:
1.are parte stabila
2.este comutativa
3.este asociativa
4.are element neutru
5.are element simetrizabil 

Faptul ca este asocitativa nu mai este nevoie sa demonstrezi pentru ca inmultirea matricilor este asociativa. (3.)

1. trebuie sa demonstrezi ca ∀ a ∈ R , M(a) ∈ R, ceea ce este adevarat.
2.  ∀ a,b ∈ R trebuie sa demonstrezi ca:
M(a)·M(b) = M(b)·M(a)

aici trebuie sa inmultesti matricele intre ele si la final sa ti dea o egalitate.

4. Cauta E astfel incat M(a)·E = E·M(a)=M(a)
M(a)·E=E·M(a) (din comutativitate) si ramane sa aflii E din:

M(a)·E=M(a) , inlocuind ce stii si prelucrand.

5. Cauta M'(a) astfel incat M'(a)·M(a)=M(a)·M'(a)=E
M'(a)·M(a)=M(a)·M'(a) (din comutativite) si ramane sa aflii M'(a) din:

M'(a)·M(a)=E , inlocuind ce stii si prelucrand.

In final, daca ai demonstrat toate aceste proprietati, (G,·) este un grup abelian.