Question

exercitiul 1 punctul E exercitiul 2 punctul F urgent va rog

Answer 1

|x-1|= -x+1 daca x≤1
     
       =x-1 daca x>1
deci avem e rrezolvat inegalitatile
 -x+1≥x-1
2≥2x
1≥x
x≤1 x∈(-∞;1] cum conditia era x≤1, inseamna ca este indeplinit pt tot intervalul

pt x>1
x-1≥x-1  adevarat ∀x ( are loc egalitatea), iarasi indeplinit pt tot intervalul
deci x∈(-∞; 1] ∪(1,∞)= (-∞;∞)=R multimea este nemarginita atat inferior cat si superior
 Obs , notand x-1=y inegalitatae se reduce la |y|≥y, adevarata ∀y∈R
 
2 f) la modul general, 1/(x-1) : R\{1} ->R este o functie omografica, nemarginita;
ei insa i se aplica o 'restrictie" impunand ca valorile functiei sa fie>2;

 ni  se cere sa  aflam multimea A  a argumentului x, pt care functia f(x) >2 si sa vedem daca acesta multime, a lui x , argumentul,  este sau nu marginita inferior sau superior;
atentie, functia este descrescatoare
Demonstratie  x creste, x-1 creste, 1/(x-1) descreste
  deci pt valori minime ale functiei vom avea valori maxime ale lui x
 si invers
deci  atunci cand functia va tinde catre valoarea minima, 2. va exista un max A  a multimii  lui x

atunci cand 1/(x-1)=2; 2x-2=1; 2x=3; x=3/2
deci exista o margine suiperioara  in 3/2

de asemenea, mai stim (observam ) ca

 pt valori x->1, x>1 1/(x-1)-> +∞
 pt valori x->1, x<1 1/(x-1)-> -∞
 
cum ni se cer valori ale functiei >2, ne intereseaza doar cand f(x) ->∞ deci cand x->1, x>1
asadar A (multimea valorilor lui x) va avea pt maximul valorilor +∞, si un minim al lui x, si anume 1




 practic A= (1;3/2) deci e marginita si inferior
min A=1
 marginea inferioara Nu apartine multimii pt ca  functia Nu poate fi definita acolo 
max A=3/2
marginea superioara Nu apartine multimii datorita inegalitatii stricte ">"
vezi desen din attach pt lamurire