Question

Exercitiul 1, subpunctul a)

Answer 1

Well, asimptota va avea forma generala y = mx + n

Stim ca in cazul asta:

$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} \\ n = \lim_{x \to -\infty} (f(x)-mx)$

Sa vina calculele

$m= \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1}-x }{x}$

Factor comun fortat sub radical pe x patrat si avem

$\lim_{x \to -\infty} \frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} } -x}{x}$

Stim ca

$|x|=\left \{ {{x, x\geq0 } \atop {-x,x<0}} \right.$

In cazul nostru x tinde catre - infinit, care e o valoare negativa, deci |x| - ul ala o sa fie = -x

Acum factor comun pe x, simplificare, si in final o sa dea m = -2.

Acum pt n:

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x+1}-x+2x )= \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x+1}+x)$

Putem amplifica cu conjugatul

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+1}+x)(\sqrt{x^2+x+1}-x) }{\sqrt{x^2+x+1}-x}$

Clasic, sus avem (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

Toata asta o sa ne dea la numarator x+1. Deci am ajuns la

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}$

Aceeasi chestie ca la m, factor comun fortat sub radical, modul, simplificari, all the good jazz:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{1}{x} )}{x(-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} }-1 )}$

Si in final n = - 1/2

In sfarsit, ecuatia asimptotei la - infinit e y = mx + n = -2x - 1/2

Daca ai vreo neclaritate, lasa un comm si o sa revin