Question

Exercițiul 1. Va rog, ajutați-mă!!

Answer 1

x² = 4y² + 3y + 3
(x -2y)(x + 2y) = 3(y + 1)
(x - 2y)/3 = (y + 1)  /(x +2y)
x - 2y = M3
x - 2y = 3k   
(y + 1)/(x +2y) = k    y +1 = kx + 2ky   
kx + (2k - 1)y = 1
kx - 2 ky = 3k²
(4k -1)y = 1 - 3k²      y = (1-3k²) /(4k - 1)  
y ∈ Z ⇔  (4k - 1) | (1 - 3k²)  ⇒ (4k - 1) | (4 - 12k²)    (1)
                (4k -1) | (4k - 1)  ⇒ (4k -  1) | (12k² - 3k)    (2)     
⇒ (4k -1) | [(1) + (2)] = 4 -3k
(4k - 1) | (16 - 12k)     (3)
(4k - 1) | (12k - 3)   (4)              (4k - 1) | [ (3) + (4)] = 13         ⇒ (4k - 1) ∈ D13
I.   4k - 1 = -13    4k = - 12    k = - 3
x - 2y = -9
(y + 1)/( x + 2y) = -3   y + 1 = -3x -6y         3x + 7y = - 1     
                                                                     x - 2y = - 9    13y = 26    y = 2   x = - 5
II.   4k - 1 = - 1 ⇒ k = 0    x - 2y = 0    y + 1 = 0   y = - 1   x = - 2
III.  4k - 1 = 1    4k = 2      k = 1/ 2       x - 2y = 1/2    2x - 4y = 1
(y+1)/(x+2y) = 1/2      2y + 2 = x + 2y    x = 2    4 - 4y = 1 4y = 3    y ∉Z
IV.  4k-1 = 13    4k = 14    k = 7/2    x - 2y = 7/2      2x - 4y = 7
2y + 2 = 7x + 14y                                                        7x + 12y = 2
                                                                                     -----------------
13x = 23            x ∉Z