Question

Exerciţiul 10

ARIA DISCULUI

Într-o carte de geometrie, am găsit o construcție care permite înmulțirea ariei unui disc cu 2;

cu 3; etc.

Realizați construcția primelor trei cercuri pornind de la un cerc de centru O și diametrul

[AB] cu AB = 8 cm.

Demonstrați că aria discului care trece prin D este dublul ariei discului de plecare.

Demonstrați că aria discului care trece prin F este triplul ariei discului de plecare.

Cum trebuie procedat pentru a obține o metodă care să permită înmulțirea ariei cu 4, cu 5?
.

Answer 1

Răspuns:

Aria unui disc=πR²

AB=8 cm

Daca diametrul este 8 cm, raza va fi jumatate din diametru, adica 4 cm

AO=OC=OB=4 cm

Asa cum se observa din imagine, OC=OA (sunt raze), iar ∡C=∡A=90°⇒ AOCD patrat

Diagonala unui patrat=l√2

OD este diagonala in patratul AOCD

OD=4√2 cm

Dar OD este raza celui de-al doilea disc

Aria primului disc=4²π=16π cm²

Aria al doilea disc=π(4√2)²=32 π cm²

Observam ca Aria al doilea disc este dublul ariei primului disc

OE=OD (raze pentru al doilea disc)

OE=4√2 cm

FE=DC=AO=4 cm

In ΔFEO aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

OF²=OE²+FE²

OF²=(4√2)²+16

OF²=32+16=48

OF=4√3 cm (raza al treilea disc)

Aria al treilea disc=π(4√3)²=48π cm²

Observam ca Aria al treilea disc este triplul ariei primului disc

Daca vom continua desenul sa prelungim OE cu M si AF cu N, vom avea

OM=4√3 cm

MN=4 cm

Aflam ON

ON²=MN²+OM²

ON²=16+48=64

ON=8 cm

Arie al patrulea disc=64π cm², care este de patru ori mai mare ca aria primului disc

Concluzie: continuam sa desenam cate un cerc exterior cum se prezinta si in imagine si sa prelungim laturile OE si AF si tot asa..