Question

Exercitiul 17 si 18!

Answer 1

Explicație pas cu pas 17:

z = (-1 + i) ^ n + (-1-i)^n, dam factor comun -1 in ambele paranteze

=> z = (-1)^n * (1-i)^n + (-1)^n * (1+i)^n, dam factor comun -1^n

=> z = (-1)^n * ((1-i)^n + (1+i)^n), -1 ^n este deja numar real, deci trebuie sa aratam ca z' = (1-i)^n + (1+i)^n este numar R,

Se observa ca:

(1-i)^2 = (1-i)*(1-i) = 1 -i -i + 1 = 2(i - i)

(1-i)^3 = (1-i)^2 * (1-i) = 2(1-i) * (1-i) = 2 * (1-i)^2 = 4 *(1-i) = 2^(3-1) * (1-i), am folosit rezultatul de mai sus,

(1-i)^4 = (1-i)^2 * (1-i)^2 = 2*(1-i) * 2 *(1-i) = 2^2 * (1-i)^2 = 2^3 * (1-i) = 2^(4-1) * (1-i)

..., deducem astfel

(1-i)^n = 2^(n-1) * (1-i)

similar,

(1+i)^2 = (1+i)*(1+i) = 1 + i + i + 1 = 2(1 + i) = 2^(2-1) * (1 +i )

(1+i)^3 = (1+i) * (1+i)^2 = (1 + i) * 2 * (1 + i) = 2 * (1 + i) ^ 2 = 2^2 * (1 + i) = 2^(3 - 1) (1 + i)

..., deducem

(1+i)^n = 2 ^ (n -1) * (1 + i)

astfel z = 2 ^ (n - 1) * (1 - i) + 2 ^ (n - 1) * (1 + i), dam factor comun 2 ^ (n - 1)

=> z' = 2 ^ (n - 1) *(1 - i + 1 + i ) = 2 ^ ( n - 1)  * 2 = 2 ^n, care apartine lui R

=> z = (-1)^n * 2^n = -2 ^ n care apartine numelor reale orice n apartine lui N

Explicatie pas cu pas pentru 18: (prin pur imaginar inteleg: nu are parte reala)

Strim z1, z2 din C, z1 diferit de z2,

=> z1 = a1 + b1 * i, z2 = a2 + b2 * i, unde a1, a2, b1, b2 din R, a. i. z1 diferit de z2

=> z1/ = a1 - b1 *i, z2/ = a2 - b2 * i, cu / am notat conjugatul

Z = z1 * z2/ - z1/ * z2 = (a1 + b1 * i) * (a2 - b2 * i) - (a1 - b1 *i) * (a2 + b2 * i)

= a1 * a2 - a1 * b2 * i + b1 * a2 * i + b1 * b2 - a1 * a2 - a1 * b2 * i + b1 * a2 * i - b1 * b2

= -a1 * b2 * i + b1 * a2 * i - a1 * b2 * i + b1 * a2 * i

= (2 * b1 * a2 - 2 * a1 * b2) * i, care este un numar doar cu parte imaginara

=> Z = z1 * z2/ - z1/ * z2 este pur imaginar