Question

exercitiul 18 va rog dau coroana​

Answer 1

a) f'(x)=4x-$\frac{1}{x}$
afli cand derivata este 0:
f'(x)=0
$4x-\frac{1}{x}=0$, inmultesti cu un x
4x²-1=0
x²=1/4
x=±$\sqrt\frac{1}{4}$=±$\frac{1}{2}$
Intre radacini va avea semn opus lui a (coeficientul lui x²), adica minus, fiindca a=4. Deci pentru x de la -1/2 pana la 1/2, derivata lui f va avea semnul minus. Dar functia este definita doar pe (0, ∞), adica de la 0 pana la 1/2 derivata va fi negativa, iar de la 1/2 pana la ∞ va fi pozitiva.
In final, asta inseamna ca pe (0, $\frac{1}{2}$) f este monoton descrescatoare,
iar pe  ($\frac{1}{2}$, ∞) f este monoton crescatoare.

b) Fiindca f descreste pana la 1/2, iar apoi creste, putem deduce ca x=1/2 este punct de minim, ceea ce inseamna ca f(x)≥f(1/2), ∀x∈(0, ∞)
Nu ne mai ramane decat sa calculam f(1/2)=2×1/4-ln(1/2)=1/2-(ln1-ln2)=
1/2-ln1+ln2=1/2+ln2
Deci a=$\frac{1}{2} +ln2$

c) Calculam f''(x)=$4+\frac{1}{x^2}$
Se observa ca f''(x) este pozitiva pentru orice valoare a lui x, ceea ce inseamna ca functia f este convexa pe tot intervalul de definitie (0, ∞).