Question

exercitiul 18 va rog mult

Answer 1

$a) \ 1 \in \ Im_f \ daca \ \frac{x}{x^2+1}=1 \\ \\ daca \ x=x^2+1 \\ \\ \Leftarrow \Rightarrow x^2-x+1=0\\ \\ g(x)=x^2-x+1 \ este \ funtie \ de \ gradul \ 2 \ si \ are \ valoarea \ minima: \\ \\ -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{1-4}{4}=\frac{3}{4}>0\\ \\ \Rightarrow este \ imposibil \ ca \ x^2-x+1=0 \\ \\ \Rightarrow 1 \not{\in} Im_f\\ \\ \\ \\ b) \ \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{1}{2}\\ \\ Pentru \ x<0 \ este \ evident, \ deoarece \ membrul \ stang \ este \ negativ\\ \\ Ptr \ x \in [0; \ +oo ):\\\\ \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{1}{2}\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow 2x\leq x^2+1\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow 0\leq x^2 -2x+1\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow 0\leq (x-1)^2 \ (ADEVARAT)\\ \\ \Rightarrow Cea \ mai \ mare \ valoare \ a \ functiei \ este \ \frac{1}{2}\\ \\ \\ \\ c) \frac{-1}{2} \in Im_f \Leftarrow \Rightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{-1}{2} \\ \\ \Leftarrow \Rightarrow -x^2-1=2x\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow -x^2-2x-1=0\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow x^2+2x+1=0\\ \\ \Leftarrow \Rightarrow (x+1)^2=0, \ adevarat \ pentu \ x=-1\\ \\ \Rightarrow \frac{-1}{2} \in Im_f$