Question

Exercitiul 19, va rog

Answer 1

[tex]xy+5x+5y+20 \geq -5\\\\ xy+5x+5y+20+5 \geq 0\\\\ xy+5x+5y+25 \geq 0[/tex]

Între primii doi termeni îl dăm factor comun pe x, iar între ultimii doi pe 5:

$x(y+5)+5(y+5) \geq 0$

Dăm paranteza factor comun:

$(y+5)(x+5) \geq 0$

Facem tabel de semn pentru (y+5), respectiv pentru (x+5). Am atașat tabelele la poză.

Din enunțul problemei, știm că $x,y \in [-5;\infty)$, și după cum observi în tabele, pe acel interval cele două paranteze sunt pozitive. Iar două numere pozitive înmulțite dau un produs pozitiv.

Matematic, ai putea scrie:

$\underline{ \left \{ {{x+5} \geq 0 ,~\forall x \in [-5;\infty)\atop {y+5} \geq 0 ,~\forall y \in [-5;\infty)}} \right.}\\ (x+5)(y+5) \geq 0,~\forall x,y \in [-5;\infty)$

Iar cum inegalitatea $(x+5)(y+5) \geq 0$ este echivalentă cu $xy+5x+5y+20 \geq-5$, înseamnă că am demonstrat ceea ce ne cere.