Question

Exercițiul 2. Am scrisă în creion formula pe care trebuie să o folosesc, dar nu înțeleg cum pot deduce. Dau coroană.

Answer 1

Salut,

Avem formula generală:

(a -- b)³ = a³ -- 3a²b + 3ab² -- b³ = a³ -- b³ -- 3ab(a -- b) (1).

Notăm cu:

$a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7},\ b=\sqrt[3]{5\sqrt2-7}.\ Avem\ c\breve{a}:\\\\a \cdot b=\sqrt[3]{(5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)}=\sqrt[3]{(5\sqrt2)^2-7^2}=\sqrt[3]{50-49}=1.\\\\a^3-b^3=5\sqrt2+7-(5\sqrt2-7)=14,\ deci\ a^3-b^3=14.$

Avem de arătat că a -- b = 2. Notăm cu x = a -- b ∈ R. Înlocuim ce am obținut în relația (1):

x³ = 14 -- 3x, sau x³ + 3x -- 14 = 0, sau x³ -- 8 + 3x -- 6 = 0. Mai departe:

(x -- 2)(x² + 2x + 4) + 3(x -- 2) = 0, sau (x -- 2)(x² + 2x + 7) = 0.

Ecuația x² + 2x + 7 = 0 are discriminantul Δ = 2² -- 4·1·7 = --24 < 0, deci soluțile acestei ecuații nu sunt reale.

Ne rămâne x -- 2 = 0, sau a -- b = 2, ceea ce trebuia demonstrat.

Green eyes.