Question

exercitiul 2 punctul c

Answer 1

Daca x1 este radacina a ecuatiei atunci stim ca
$x_{1}^{3}-x_{1}^{2}+ax_{1}+2=0\Rightarrow x_{1}^{3}=x_{1}^{2}-ax_{1}-2$
In mod similar avem
$x_{2}^{3}=x_{2}^{2}-ax_{2}-2$
$x_{3}^{3}=x_{3}^{2}-ax_{3}-2$Daca adunam cele 3 relatii avem
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})-6$
Inlocuim aceasta formula in cea de la punctul c) si impartim termenii 3x1x2 3x2x3 3x1x2 in sume de termeni:2x1x2+x1x2....
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})-6 =(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})-6$
Recunoastem doua formule care pot fi obtinute prin relatiile Viete$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{-1}{1}=1$$x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{a}{1}=a$Inlocuind in relatiile de mai sus obtinem$1^{2}+a-a*1-6=1-6=-5$

Answer 2

Rădăcinile polinomului f sunt rădăcini ale ecuației:

$\it x^3-x^2+ax+2=0 \ \ \ \ (1)$

Din relațiile lui Viète pentru ecuația  (1), rezultă:

$\it x_1+x_2+x_3= 1\\ \\ \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a$


[tex] \it (1) \Rightarrow x^3 = x^2-ax-2 \ \ \ \ (2) \\ \\ \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 \stackrel{(2)}{=} x_1^2-ax_1-2 +x_2^2-ax_2-2 +x_3^2-ax_3-2 = \\ \\ \\ = (x_1^2+x_2^2+x_3^2)-a(x_1+x_2+x_3) -6= (x_1+x_2+x_3) ^2 - \\ \\ \\ -2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1) -a(x_1+x_2+x_3) -6 \ \ \ \ (3) [/tex]


Folosind relațiile lui Viète, relația (3) devine:

[tex]\it x_1^3+x_2^3+x_3^2= 1-2a-a-6=-3a-5 [/tex]


Cu acest ultim rezultat, expresia din enunț devine:

$\it -3a-5+3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=-3a-5+3a = -5$