Question

Exercitiul 2. URGENT!

Answer 1

2. ab-ba=a(b-1) ⇔
10a+b-(10b+a)=a(b-1) ⇔
10a+b-10b-a=a(b-1) ⇒9(a-b)=a(b-1)
9/9 ⇒9/9(a-b) oricare ar fi a;b∈N si (a;b)=1 ;
Avem urmatoarele cazuri
i. 9/a ⇒a∈{0;9} dar deoarece a≠0 ⇒a=9 ;
9(9-b)=9(b-1) ⇔9-b=b-1 ⇒b=5
Asadar ab=95
ii. 9/b-1 ⇒b-1∈{0;9} dar deoarece b=cifra ⇒b=1 ;
9(a-1)=0 ⇔a-1=0 ⇔a=1
Asadar ab=11 dar a≠b ⇒nu convine varianta.
iii. 3/a ⇒a∈{0;3;6;9} ⇒convine a∈{3;6;9}
3/b-1 ⇒b-1∈{0;3;6;9} ⇒convine b-1∈{0;3;6} ⇔b∈{1;4;7}
a=3 ⇒9(3-b)=3(b-1) ⇒nu este solutie naturala deoarece 30=12b iar 12 nu divide 30;
a=6 ⇒9(6-b)=6(b-1) ⇒b=4 ;
Asadar ab=64 dar (6;4)=1 ,contradictie ⇒nu convine varianta.
In concluzie ab=95 .

Answer 2

[tex]\it\overline{ab} -\overline{ba} =a(b-1) \Leftrightarrow \overline{ab} = a(b-1) +\overline{ba} \Leftrightarrow \\\;\\ \Leftrightarrow 10a + b = ab - a + 10b + a \Leftrightarrow 10a + b = 10b+ab |_{-b} \Leftrightarrow [/tex]

$\it \Leftrightarrow 10a = 9b+ab\Leftrightarrow 10a = b(9+a)$

Membrul stâng al ultimei egalități este un multiplu de 10, prin urmare și membrul drept trebuie să fie tot un multiplu de 10.

 b(9 + a) este multiplu de 10 ⇒  9+a trebuie să fie un multiplu de 2 sau

un multiplu de 5 ⇒ a∈{1, 3, 5, 6, 7, 9}.

Analizând fiecare valoare posibilă a lui a și ținând seama că a≠b, iar a, b sunt

 prime între ele   ⇒ a=9,  b=5  singurul caz convenabil.

Deci, numărul cerut este 95.