Question

Exercitiul 2 va rog. Dau Coroana!!

Answer 1

A = {$\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }$ | $\displaystyle{ -2 \leqslant \frac{2x-3}{3} < 1 }$ }

a) Aratati ca A = [-3/2, 3)

Se ia inecuatia cu necunoscuta x din multimea A.

$\displaystyle{ -2 \leqslant \frac{2x-3}{3} < 1 }$

• Se inmulteste totul cu 3

$\displaystyle{ -6 \leqslant 2x - 3 < 3 }$

• Se adauga 3

$\displaystyle{ -3 \leqslant 2x < 6 }$

• Se imparte totul la 2

$\displaystyle{ -\frac{3}{2} \leqslant x < 3 }$

$\displaystyle{ \rightarrow x \in [-\frac{3}{2}, 3) }$

(q.e.d.)

b) Aratati ca numarul a apartine multimii A. (presupun ca asta scrie, nu se vede toata cerinta intrucat este decupata imaginea)

$\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} }$

• Se rationalizeaza primele doua fractii pentru a obtine numitor comun. Prima fractie se va amplifica cu radical din 3 + radical din 2, iar a doua se va amplifica cu radical din 3 - radical din 2.

$\displaystyle{ a = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3-2} - \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} }$

• Observam ca numitorul ambelor fractii este 1, deci nu mai are rost sa il scriem.

$\displaystyle{ a = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} }$

$\displaystyle{ a = \sqrt{2} + \sqrt{2} }$

$\displaystyle{ a = 2\sqrt{2} }$

• Acum trebuie sa aratam ca numarul 2 radical din 2 apartine intervalului [-3/2, 3)

Luam prima parte a inecuatiei:

$\displaystyle{ -\frac{3}{2} \leqslant 2\sqrt{2} }$

-3/2 este un numar negativ. 2 radical din 2 este un numar pozitiv. Deci relatia este adevarata. (1)

Luam a doua parte a inecuatiei:

$\displaystyle{ 2\sqrt{2} < 3 }$

• Se ridica la patrat (putem face acest lucru intrucat ambele numere sunt pozitive)

4 × 2 < 3²

8 < 9

Relatia este adevarata. (2)

Din (1) + (2) ⇒ a ∈ A

(q.e.d.)