Question

exercitiul 2 Va rog mult!

Answer 1

BN/BC=1/3
⇒BN/NC=1/2⇔NC=2BN
fie P∈NC asa fel incat NP=PC⇒BN=NP=PC⇒
MN este l.m . in ΔBOP, MN=OP/2
 dar AO≡OC
NP≡PC⇒OP este l.m.in ΔCAN⇒OP=AN/2⇒
MN/AN= (MN /OP)*(OP/AN)=
(1/2) * ( 1/2)=1/4 ⇔AN=4MN⇒AM=AN-MN=4MN-MN=3MN
⇒MN/AM= MN/3MN=1/3⇔AM=3MN, cerinta

Answer 2

Desenem paralelogramul și notăm trigonometric, din stânga sus, ABCD.

Fixăm pe BC punctele N  și F, astfel că vom avea ordinea B, N, F, C , iar

latura BC va fi împărțită în trei părți de lungimi egale, adică :

 BN = NF = FC = x .

Evident, BC = 3BN = 3x.

Ducem diagonalele paralelogramului, care se intersectează în punctul O.

Ducem segmentul AN și notăm cu M intersecția lui AN cu BO.

Unim punctele O și F.

În triunghiul ANC, avem că F este mijlocul lui  NC, iar O este mijlocul lui AC.
 
Va rezulta că OF este linie mijlocie în triunghiul ANC și deci:

 OF = AN/2   (1)

OF || AN      (2)

Din relația  (2) ⇒ OF || MN ⇒ MN || OF  și pentru că N e mijlocul lui BF,
 
va rezulta că MN este linie mijlocie în triunghiul OBF.

Vom scrie :  MN = OF/2    (3)

Din relațiile (1), (3) ⇒ MN = (AN/2)/2  ⇒ MN = AN/4 ⇒ 4MN = AN ⇒

⇒ 4MN = AM + MN ⇒ 4MN - MN = AM ⇒ 3MN = AM ⇒ AM = 3MN  

____________________________________________   [q.  e.  d.]