Question

exercitiul 2.vreau explicatie pas cu pas ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Prima oara o sa ne ocupam de fractii

1/(1+2) +1/(1+2+3) +1/(1+2+3+4) +...+1/(1+2+3+...+n)

Observam ca la numitor avem suma tip Gauss la care avem si formula: 1+2+3+...+a=a(a+1)/2

1/(2*3/2) +1/(3*4/2)+1/(4*5/2)+...+1/[n(n+1)/2] =

2/2*3+2/3*4+2/4*5+...+2/n(n+1)

Acum putem sa dam factor comun pe 2

=2(1/2*3+1/3*4+..+1/n(n+1))

Iar acum partea CEA MAI FRUMOASA e ce avem in paranteza adica o suma "Telescopica"

1/2*3=(3-2)/2*3=3/2*3-2/2*3=1/2-1/3

Adica avem formula 1/a(a+1)=1/a-1/(a+1)

=2(1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1))

Observam ca termenii din mijloc se anuleaza (mai putin primul si ultimul)

Din motivul asta se cheama "telescopica" pt ca ramai doar cu primul termen si cu ultimul

=2(1/2-1/(n+1))=2*(n+1-2)/2(n+1)=(n-1)/(n+1)

Deci 1+(n-1)/(n+1)=4022/2012 => (n+1+n-1)/(n+1)=4022/2012

=> 2n/(n+1)=4022/2012 => n/(n+1)=2011/2012

=<2012n=2011n+2011=<n=2011