Question

Exercitiul 24 punctele b,c,d . ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

b.

Fie (5n + 2; 3n + 1) = d

atunci

d|5n + 1  ⇒ d|3(5n + 2) ⇒ d|15n + 6 si

d|3n + 1  ⇒ d|5(3n + 1) ⇒ d|15n + 5

⇒ d| (15n + 6) - (15n + 5 ) ⇒ d|1 ⇒ d = 1 , adica (5n + 2; 3n + 1) = 1

c)

Fie (8n + 9; 6n + 7) = d

atunci

d|8n + 9  ⇒ d|6(8n + 9) ⇒ d|48n + 54 si

d|6n + 7  ⇒ d|8(6n + 7) ⇒ d|48n + 56

⇒ d| (48n + 56) - (48n + 54 ) ⇒ d|2 ⇒ d = 1  sau d = 2

Dar: 8n + 9 este numar impar, oricare ar fi numarul natural n, asadar d nu poate sa fie egal cu 2, si atunci ramane doar d = 1 , adica (8n + 9; 6n + 7) = 1

d) Fie (12n + 6; 20n + 12) = d

atunci

d|12n + 6  ⇒ d|5(12n + 6) ⇒ d|60n + 30 si

d|20n + 12  ⇒ d|3(20n + 12) ⇒ d|60n + 36

⇒ d| (60n + 36) - (60n + 30 ) ⇒ d|6 ⇒ d poate sa fie doar 1, 2 , 3 sau 6, adica (12n + 6; 20n + 12) ∈ { 1; 2; 3; 6}.

Ca o observatie suplimentara: pentru n=1 , 20n + 12 = 20 + 12 = 32, iar nici 3 nici 6 nu sunt divizori ai lui 32, deci (12n + 6; 20n + 12) = 1 sau 2, care oricum apartin multimii { 1; 2; 3; 6}