Matematică, întrebare adresată de larisaoana174, 8 ani în urmă

exercitiul 29 va rog dau coroana​

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de andyilye
3

Explicație pas cu pas:

a) asimptotă orizontală spre +∞:

lim_{x \rightarrow + \infty }\left(\frac{ ln(x) }{x} \right) = lim_{x \rightarrow + \infty }\left(\frac{ \left(ln(x) \right)^{\prime}}{x^{\prime}} \right)  \\ = lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{ \frac{1}{x} }{1} \right) = lim_{x \rightarrow + \infty }\left( \frac{1}{x} \right) = 0

dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞

b) derivata funcției:

f^{\prime}(x) = \left( \frac{ ln(x) }{x}  \right)^{\prime}  \\ =  \frac{\left( ln(x)  \right)^{\prime}\cdot x - x^{\prime}\cdot ln(x) }{ {x}^{2} }  \\ =  \frac{ \frac{1}{x}\cdot x - 1\cdot ln(x) }{ {x}^{2} } =  \frac{1 -  ln(x) }{ {x}^{2} }

c) intervale de monotonie:

f^{\prime}(x) = 0 =  > \frac{1 -  ln(x) }{ {x}^{2} } = 0 \\ 1 -  ln(x) = 0 <  =  >  ln(x) = 1 =  > x = e

lim_{x \rightarrow {0}^{+}}\left(\frac{ ln(x) }{x} \right) = lim_{x \rightarrow  {0}^{+} }\left(ln(x)\right)\cdot lim_{x \rightarrow {0}^{+}}\left(\frac{1}{x} \right) \\ = ( - \infty )\cdot \infty = - \infty

f(e) =  \frac{ ln(e) }{e} =  \frac{1}{e} \\  =  >  \left(e ; \frac{1}{e} \right) \: punct \: de \: maxim

f(x) este crescătoare pentru 0 < x < e

f(x) este descrescătoare pentru e < x < +∞

Alte întrebări interesante