Question

Exercițiul 41. 2) c)
Mulțumesc!

Answer 1

a = ∛(2+√5)

b = ∛(2-√5)

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

a³+b³ = (a+b)(a²+b²-ab)

a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-2ab-ab]

a³+b³ = (a+b)[(a+b)²-3ab]

Notez:

a+b = x

2+√5+2-√5 = x[x²-3∛(2+√5)∛(2-√5)]

4 = x[x²-3∛(4-5)]

4 = x(x²+3)

x³+3x-4 = 0

Observăm că x = 1 este soluție.

Cum x are valoare unică, rezultă că:

x = 1 ⇒ a+b = 1 ⇒

⇒ ∛(2+√5)+∛(2-√5) = 1 ∈ ℚ