Question

Exercitiul 42!
Va rog !!!!
Am facut decat jumatate si dupa nu mai am nicio idee.!
COROANA!!!!

Answer 1

Sunt doua cazuri de paritate pentru a si c
1) Ambele sunt impare. Sa presupunem ca d este impar si b este par(situatia inversa este identica)
Atunci $ad-bc=impar*impar-impar*par=impar-par=impar=2^{k}=par$ deci ajungem la situatia absurda ca un numar impar este egal cu un numar par, pentru k nenul. Inseamna ca nu pot fi ambele impare
2) Ambele sunt pare. In acest caz intr-adevar, indiferent de paritatea lui b si d, avem $par*(par/impar)-par*(par/impar)=par$ unde cu par/impar am notat cele doua stari posibile pentru b si d
Daca numai cazul doi este posibil, atunci avem fractia:
$\frac{a*n+b}{c*n+d}=\frac{par+(par/impar)}{par+(impar/par)}=\frac{par/impar}{impar/par}$ Deci daca b si d sunt de paritati diferite, acele paritati diferite sunt transpuse si in partile fractiei, adica fractia nu poate sa aiba divizorul 2(ambele parti nu se pot imparti prin 2)

Acum sa presupunem prin absurd ca exista un divizor s care este comun celor doua parti ale fractiei. Atunci
$a*n+b=s*m$
$c*n+d=s*p$ unde m si p sunt numere naturale nenule
Inmultim prima relatie prin c si a doua relatie prin a
$a*c*n+b*c=s*c*m\Rightarrow a*c*n=s*c*m-b*c$
$a*c*n+a*d=s*a*p$
Putem sa-l inlocuim pe a*c*n din prima ecuatie in a doua
$s*c*m-bc+ad=s*a*p\Rightarrow s*a*p-s*c*m=ad-bc=2^{k}\Rightarrow s(a*p-c*m)=2^{k}$ de unde rezulta ca s poate fi doar o putere a lui 2. Dar tocmai am stabilit mai devreme ca s=2 nu poate fi un divizor al celor doua parti ale fractiei, ce sa mai vorbim de o putere a lui 2. Deci prin reducere la absurd, nu exista divizorul s, fractia este ireductibila.