Exercițiul A13.
Subpunctele a și b, vă rog.
Ofer coroană și 60 de puncte.
Anexe:

Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
Salut,
Punctul a): Din enunț avem că:

Punctul b):
Știm că:
![log_a\sqrt[p]x^k=log_ax^{\frac{k}{p}}=\dfrac{k}p\cdot log_ax.\ Num\breve{a}r\breve{a}torul\ frac\c{t}iei\ devine:\\\\\dfrac{1}n\cdot log_ax+\dfrac{3}n\cdot log_ax+\ldots+\dfrac{2n-1}n\cdot log_ax=\dfrac{1+3+\ldots+2n-1}n\cdot log_ax.\\\\\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=2\cdot\sum\limits_{k=1}^nk-\sum\limits_{k=1}^n1=2\cdot\dfrac{n(n+1)}2-n=n^2+n-2=n^2.\\\\Num\breve{a}r\breve{a}torul\ frac\c{t}iei\ devine:\ \dfrac{n^2}n\cdot log_ax=n\cdot log_ax.\ (1)\\\ Numitorul\ frac\c{t}iei\ devine:\\\\\dfrac{2}n\cdot log_ax+\dfrac{4}n\cdot log_ax+\ldots+\dfrac{2n}n\cdot log_ax=\dfrac{2+4+\ldots+2n}n\cdot log_ax=\\\\=\dfrac{2(1+2+\ldots+n)}n\cdot log_ax=\dfrac{2\cdot\dfrac{n(n+1)}2}n\cdot log_ax=(n+1)\cdot log_ax\ (2). log_a\sqrt[p]x^k=log_ax^{\frac{k}{p}}=\dfrac{k}p\cdot log_ax.\ Num\breve{a}r\breve{a}torul\ frac\c{t}iei\ devine:\\\\\dfrac{1}n\cdot log_ax+\dfrac{3}n\cdot log_ax+\ldots+\dfrac{2n-1}n\cdot log_ax=\dfrac{1+3+\ldots+2n-1}n\cdot log_ax.\\\\\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)=2\cdot\sum\limits_{k=1}^nk-\sum\limits_{k=1}^n1=2\cdot\dfrac{n(n+1)}2-n=n^2+n-2=n^2.\\\\Num\breve{a}r\breve{a}torul\ frac\c{t}iei\ devine:\ \dfrac{n^2}n\cdot log_ax=n\cdot log_ax.\ (1)\\\ Numitorul\ frac\c{t}iei\ devine:\\\\\dfrac{2}n\cdot log_ax+\dfrac{4}n\cdot log_ax+\ldots+\dfrac{2n}n\cdot log_ax=\dfrac{2+4+\ldots+2n}n\cdot log_ax=\\\\=\dfrac{2(1+2+\ldots+n)}n\cdot log_ax=\dfrac{2\cdot\dfrac{n(n+1)}2}n\cdot log_ax=(n+1)\cdot log_ax\ (2).](https://tex.z-dn.net/?f=log_a%5Csqrt%5Bp%5Dx%5Ek%3Dlog_ax%5E%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7Bp%7D%7D%3D%5Cdfrac%7Bk%7Dp%5Ccdot+log_ax.%5C+Num%5Cbreve%7Ba%7Dr%5Cbreve%7Ba%7Dtorul%5C+frac%5Cc%7Bt%7Diei%5C+devine%3A%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7B1%7Dn%5Ccdot+log_ax%2B%5Cdfrac%7B3%7Dn%5Ccdot+log_ax%2B%5Cldots%2B%5Cdfrac%7B2n-1%7Dn%5Ccdot+log_ax%3D%5Cdfrac%7B1%2B3%2B%5Cldots%2B2n-1%7Dn%5Ccdot+log_ax.%5C%5C%5C%5C%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En%282k-1%29%3D2%5Ccdot%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5Enk-%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5En1%3D2%5Ccdot%5Cdfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D2-n%3Dn%5E2%2Bn-2%3Dn%5E2.%5C%5C%5C%5CNum%5Cbreve%7Ba%7Dr%5Cbreve%7Ba%7Dtorul%5C+frac%5Cc%7Bt%7Diei%5C+devine%3A%5C+%5Cdfrac%7Bn%5E2%7Dn%5Ccdot+log_ax%3Dn%5Ccdot+log_ax.%5C+%281%29%5C%5C%5C+Numitorul%5C+frac%5Cc%7Bt%7Diei%5C+devine%3A%5C%5C%5C%5C%5Cdfrac%7B2%7Dn%5Ccdot+log_ax%2B%5Cdfrac%7B4%7Dn%5Ccdot+log_ax%2B%5Cldots%2B%5Cdfrac%7B2n%7Dn%5Ccdot+log_ax%3D%5Cdfrac%7B2%2B4%2B%5Cldots%2B2n%7Dn%5Ccdot+log_ax%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B2%281%2B2%2B%5Cldots%2Bn%29%7Dn%5Ccdot+log_ax%3D%5Cdfrac%7B2%5Ccdot%5Cdfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D2%7Dn%5Ccdot+log_ax%3D%28n%2B1%29%5Ccdot+log_ax%5C+%282%29.)
Din relațiile (1) și (2), dacă le împarți, obții exact relația din enunț.
Green eyes.
Punctul a): Din enunț avem că:
Punctul b):
Știm că:
Din relațiile (1) și (2), dacă le împarți, obții exact relația din enunț.
Green eyes.
ancutadraguta2:
Vă mulțumesc din suflet!
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Istorie,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă