Question

Exercițiul A9 .........

Answer 1

[tex]a)\:1+\sin{x} \neq 0\\ \sin{x} \neq -1\\ x \neq \arcsin{(-1)}\\ x \neq \frac{3\pi}{2}\\ 1+\cos{x} \neq 0\\ \cos{x} \neq -1\\ x \neq \arccos{(-1)}\\x \neq \pi\\ \sin{x}\cdot\cos{x} \neq 0\Leftrightarrow\sin{x} \neq 0\:si\:\cos{x} \neq 0\\ \sin{x} \neq 0\\ x \neq \arcsin0\\ x \neq 0\\ \cos{x} \neq 0\\ x \neq \arccos0\\ x \neq \frac{\pi}{2}\\ x\in\mathbb{R}-\{0,\pi, \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\}\\[/tex]

[tex]b)\:E=\frac{\cos{x}}{1+\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{1+cos{x}}+\frac{(1-\sin{x})(1-\cos{x})}{\sin{x}\cos{x}}=\\ Aducem\:la\:acelasi\:numitor,\:(1+\sin{x})(1+\cos{x})\sin{x}\cos{x}:\\ \\\frac{\sin{x}\cos{x}\cos{x}(1+\cos{x})+\sin{x}\cos{x}\sin{x}(1+\sin{x})+(1+\sin{x})(1+\cos{x})(1-\sin{x})(1-\cos{x})}{\sin{x}\cos{x}(1+\sin{x})(1+\cos{x})} \\\\=\frac{\sin{x}\cos^2{x}(1+\cos{x})+\sin^2{x}\cos{x}(1+\sin{x})+(1-sin^2{x})(1-\cos^2{x})}{\sin{x}\cos{x}(1+\sin{x})(1+\cos{x})}=\\ \\ [/tex][tex]=\frac{\sin{x}\cos^2{x}+\sin{x}\cos^3{x}+\sin^2{x}\cos{x}+\sin^3{x}\cos{x}+1-cos^2{x}-sin^2{x}+sin^2x\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}(1+\sin{x})(1+\cos{x})}=\\ \\=\frac{\sin{x}\cos{x}(\cos{x}+\cos^2{x}+\sin{x}+\sin^2{x}+1-1+\sin{x}\cos{x})}{\sin{x}\cos{x}(1+\sin{x})(1+\cos{x})}=\\ \\=\frac{1+\cos{x}+\sin{x}+\sin{x}\cos{x}}{(1+\sin{x})(1+\cos{x})}=\\ \\=\frac{1+\cos{x}+\sin{x}+\sin{x}\cos{x}}{1+\cos{x}+\sin{x}+\sin{x}\cos{x}}=1.[/tex]