Question

Exercitiul d. Va rog frumos sa scrieti in asa fel incat sa se inteleaga daca se poate :)

Answer 1

Ca G să fie un grup sub operația binară (*) , G trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

1) legea asociativă a*(b*c) = (a*b)*c, pentru oricare a, b, c din G;

2) să existe elementul neutru e, unde dacă g se află în G, e * g = g * e = e.

3) dacă g se alflă în G, atunci g^{-1} se află în G și g * g^{-1} = e.

4) pentru oricare g, h în G, g*h se află în G.

Vom verifica toate criteriile: $G = (\mathbb{Z}, \circ)$, unde $a \circ b = ab - a - b - 2$

$a \circ (b \circ c) = a \circ (bc -b -c - 2) = abc - ab -ac - 2a - a - bc + b + c + 2 = abc - ab - ac - bc - 3a + b + c + 2$

$(a \circ b) \circ c = (ab - a - b - 2) \circ c = abc - ac - bc - 2c - c - ab + a + b + 2 = abc - bc - ab - ac - 3c + a + b + 2$

De aici observăm că prima cerință nu e satisfăcută deci $G = (\mathbb{Z}, \circ)$ nu e un grup.