Question

Exercițiul din poza de mai jos

Answer 1

Răspuns: a)

Explicație pas cu pas:

faci schimbarea de variabila f⁻¹(t)=x⇒t=f(x), dt=f'(x) dx;

integrala aia devine: ∫₀¹x·f'(x)dx=xf(x)\¹₀-∫₀¹f(x)dx=f(1)-∫₀¹(x^3+5x)/(x^2+1)dx=3-(∫₀¹xdx+∫¹₀4x/(x^2+1)dx)=3-(1/2+2ln2)=5/2-2ln2=1/2(5-4ln2);

daca ea e bijectiva, cand ii calculezi inversa scrii ca f(x)=y, de obicei;

ca y=0 ( de la intervalul de integrare intial) te gandesti cat ar trebui sa fie x din functia data si iese ca e 0, iar pentru y=3 iti rezulta x=1; de asta am schimbat intervalul de integrare; (am sarit anumite etape de calcul ca alea se observa direct).