Question

Exercițiul din poză
Doar câteva să îmi fac o idee despre cum se rezolva.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

Notez: z=a+b·i

(a+b·i)²=a-b·i ⇒ a²+2·a·b·i+(b·i)²=a-b·i ⇒ a²+2·a·b·i-b²-a+b·i=0 =>

⇒ a²-b²-a+2·a·b·i+b·i=0 ⇒ a²-b²-a+(2·a·b+b)·i=0 ⇒

a²-b²-a=0

si

2·a·b+b=0 ⇒ (2·a+1)·b=0 ⇒ a=-1/2 sau b=0

Caz 1

a =-1/2 ⇒ b²=a²-a=1/4+1/2=3/4 ⇒ b=±√3/2

⇒ z=-1/2±√3/2

Caz 2

b=0 ⇒ a²-a=b²=0 ⇒a·(a-1)=0 ⇒ a=0 sau a=1

⇒ z=0 sau z=1

e)

Daca z=r·(cosФ+i·sinФ), conform formulei lui Moivre avem:

zⁿ=rⁿ·(cos(n·Ф)+i·sin(n·Ф))

Dar zⁿ=|z| ⇒ rⁿ·(cos(n·Ф)+i·sin(n·Ф))=r ⇒ rⁿ·cos(n·Ф)-r+rⁿ·sin(n·Ф)·i=0 ⇒

rⁿ·cos(n·Ф)-r=0

si

rⁿ·sin(n·Ф)=0 ⇒ r=0 sau sin(n·Ф)=0

Caz 1

r=0 ⇒ z=0

Caz 2

sin(n·Ф)=0 ⇒ cos(n·Ф)=±1 si n·Ф=k·π unde k∈N

Dar rⁿ·cos(n·Ф)-r=0 ⇒ ±rⁿ=r  ⇒ ±rⁿ⁻¹=1 (pentru r≠0) ⇒ rⁿ⁻¹=±1 ⇒ r=±1

⇒ z=±(cosФ+i·sinФ)=±[cos(k·π/n)+i·sin(k·π/n)] unde k∈N