Question

Exercițiul din poză
Rezolvare completa vă rog!!!​

Answer 1

Răspuns:

$z^2-z+1=0$

Aici poate ai sau nu observat ca e vorba de radacina de ordin 3 a unitatii, dar nu prea conteaza ca deja se deduce din forma trigonometrica.

Daca am inmultii ecuatia de mai sus cu $z+1$ am obtine

$(z+1)*(z^2-z+1)=z^3+1=0=>z^3=-1, z\neq 1$

Daca am rezolva si ecuatia am obtine 2 solutii complexe conjugate:

$z1,z2=\frac{1}{2}$ ±$\frac{\sqrt{3} }{2}i$

In forma trigonometrica $z1=cos(60)+i*sin(60); z2=cos(-60)+i*sin(-60)$

Dupa forma trigonometrica ne putem da seama ca $z1^2=z2$, $z2^2=z1$ si ca $z1^3=-1$, $z2^3=-1$

Acum ca avem aceste relatii putem incepe rezolvarea problemelor.

$a) z1=\frac{1+i\sqrt{3} }{2},z2= \frac{1-i\sqrt{3} }{2}$

$b) z1^2+z2^2=z2+z1=\frac{1+i\sqrt{3} }{2}+\frac{1-i\sqrt{3} }{2}=1$

$z1^4+z2^4=z1+z2=1$

$z1^2^0^0^7+z2^2^0^0^7=(z1^3)^6^6^9+(z2^3)^6^6^9=-1-1=-2$

$z1^2^0^1^0+\frac{1}{z2^2^0^1^0}=(z1^3)^6^7^0+\frac{1}{(z2^3)^6^7^0}=-1-1=-2$

$c) E=(z1^4-z1^3)^1^0^0^0+(z2^4-z2^3)^1^0^0^0=(-z1-(-1))^1^0^0^0+(-z2-(-1))^1^0^0^0$

$=(\frac{-1-i\sqrt{3} }{2} )^1^0^0^0+(\frac{-1+i\sqrt{3} }{2} )^1^0^0^0$

Aici ne intoarcem la forma trigonometrica pentru a usura calculele

$=cos(\frac{4\pi }{3}*1000 )+i*sin(\frac{4\pi}{3}*1000 )+cos(\frac{2\pi }{3}*1000 )+i*sin(\frac{2\pi}{3}*1000 )$

$=cos(\frac{2\pi*2000 }{3} )+i*sin(\frac{2\pi*2000}{3} )+cos(\frac{2\pi }{3}*1000 )+i*sin(\frac{2\pi}{3}*1000 )$

Perioada cos si sin este $2\pi$, deci putem scapa de 2000 si 1000.

$=cos(\frac{2\pi }{3} )+i*sin(\frac{2\pi}{3} )+cos(\frac{2\pi }{3} )+i*sin(\frac{2\pi}{3})$

$=\frac{-1}{2}*2+2i*\frac{\sqrt{3} }{2} =-1+i\sqrt{3}=> E=-1+i\sqrt{3}$

La F procedezi in acelasi fel.

$F=(z1^4-z1^3+2z1^2-2z1+1)^2^0^0^4+(z2^4-z2^3+2z2^2-2z1+1)^2^0^0^9$

$=(z1-(-1)+2z2-2z1+1)^2^0^0^4+(z2-(-1)+2z1-2z1+1)^2^0^0^9$

$=(2z2+2-z1)^2^0^0^4+(z2+2)^2^0^0^9$

Te las pe tine sa inlocuiesti z1 si z2 si pentru ridicarea la putere te vei folosi de forma trigonometrica.